Jika D,E,F berturut-turut merupakan titik-titik pada garis BC,CA,AB pada Delta ABC , maka:

Garis BE,AD,FC berpotongan di satu titik jika dan hanya jika

frac{AF}{FB} cdot frac{BD}{DC} cdot frac{CE}{EA} =1

Untuk membuktikan teorema di atas maka akan kita bagi menjadi dua kasus:

1. Jika BE,AD,FC berpotongan di satu titik maka frac{AF}{FB} cdot frac{BD}{DC} cdot frac{CE}{EA} =1

Sifat segitiga: Perbandingan luas segitiga yang tingginya sama, sama dengan perbandingan panjang alas-alasnya.

Berdasarkan sifat di atas didapatkan:

frac{AF}{FB}= frac{AFC}{BFC}=frac{AFO}{BFO}=frac{AFC-AFO}{BFC-BFO}= frac{AOC}{BOC}

(ket: AFC maksudnya adalah luas Delta AFC )

Dengan cara serupa didapatkan:

frac{BD}{DC}=frac{AOB}{AOC}

frac{CE}{EA}=frac{BOC}{AOB}

Jadi, diperoleh frac{AF}{FB} cdot frac{BD}{DC} cdot frac{CE}{EA}= frac{AOC}{BOC} cdot frac{AOB}{AOC} cdot frac{BOC}{AOB} =1

Terbukti

2. Jika frac{AF}{FB} cdot frac{BD}{DC} cdot frac{CE}{EA} =1 maka BE,AD,FC kongruen.

Untuk membuktikannya, sebenarnya cukup sederhana. Misalkan BE dan AD berpotongan di O dan perpanjangan CO memotong AB di G. Maka menurut torema ceva (no.1), didapatkan frac{AG}{GB} cdot frac{BD}{DC} cdot frac{CE}{EA} =1

Sebelumnya juga telah diketahui bahwa frac{AF}{FB} cdot frac{BD}{DC} cdot frac{CE}{EA} =1 , maka jelas bahwa F dan G berimpit. Jelas terbukti bahwa ketiga garis tadi berpotongan di satu titik.

Contoh soal:

(contoh ini sama sekali tidak menggunakan teorema ceva itu sendiri. Namun konsep yang digunakan adalah konsep yang terdapat dalam pembuktian dari teorema ceva. Ingat bahwa, bukti dari suatu rumus lebih berari dari rumus itu sendiri)

D, E, dan F adalah titik-titik pada sisi BC, CA, AB dari segitiga ABC dan AD, BE, dan CF kongruen terhadap titik O. Buktikan bahwa frac{OD}{AD}+frac{OE}{BE}+frac{OF}{CF}=1

Solusi:

Penampakan soal tersebut kurang lebih seperti ini:

Berdasarkan sifat segitiga yang tercantum jauh di atas, didapat:

frac{DO}{AD}= frac{ODB}{ABD}= frac{ODC}{ADC} = frac{ODB+ODC}{ABD+ADC}= frac{OBC}{ABC}

Dengan proses serupa didapatkan pula

frac{OE}{BE} = frac{OCA}{ABC} dan frac{OF}{CF}= frac{OAB}{ABC}

Dari ketiga persamaan tersebut, maka

bahwa frac{OD}{AD}+frac{OE}{BE}+frac{OF}{CF}= frac{OBC}{ABC}+ frac{OCA}{ABC}+ frac{OAB}{ABC}= 1

Untuk bukti yang lebih menarik klik link ini
atau bukti teorema ceva dengan menggunakan teorema menelaus di sini

sumber : http://mathmagics.wordpress.com/2010/02/01/bukti-teorema-ceva/

Teorema Ceva dan Menelaus

//
//

Diberikan sebuah segitiga ABC dengan titik D, E, dan F masing-masing terletak pada garis BC, CA, dan AB. (lihat gambar)

Teorema Ceva menyatakan bahwa

Garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1 titik jika dan hanya jika:

Sesuai dengan dalil Sinus, Teorema Ceva juga dapat dibentuk sebagai berikut.
Diberikan sebuah segitiga ABC. Titik D, E, dan F masing-masing terletak pada garis (atau perpanjangan garis) dari AB, BC, dan CA.
Teorema Menelaus menyatakan bahwa:
Titik D, E, dan F segaris jika dan hanya jika:
Tanda negatif disebabkan karena adanya ruas garis yang memiliki arah berlawanan (panjang yang negatif). Logikanya, AD+DB=AB.. Dengan demikian, salah satu dari AD atau DB haruslah negatif.
Sumber : http://mathmagics.wordpress.com/2009/12/21/teorema-ceva-dan-menelaus/