Bukti Teorema Ceva

Jika D,E,F berturut-turut merupakan titik-titik pada garis BC,CA,AB pada , maka:

Garis BE,AD,FC berpotongan di satu titik jika dan hanya jika

Untuk membuktikan teorema di atas maka akan kita bagi menjadi dua kasus:

1. Jika BE,AD,FC berpotongan di satu titik maka

Sifat segitiga: Perbandingan luas segitiga yang tingginya sama, sama dengan perbandingan panjang alas-alasnya.

Berdasarkan sifat di atas didapatkan:

(ket: AFC maksudnya adalah luas )

Dengan cara serupa didapatkan:

Jadi, diperoleh

Terbukti

2. Jika maka BE,AD,FC kongruen.

Untuk membuktikannya, sebenarnya cukup sederhana. Misalkan BE dan AD berpotongan di O dan perpanjangan CO memotong AB di G. Maka menurut torema ceva (no.1), didapatkan

Sebelumnya juga telah diketahui bahwa , maka jelas bahwa F dan G berimpit. Jelas terbukti bahwa ketiga garis tadi berpotongan di satu titik.

Contoh soal:

(contoh ini sama sekali tidak menggunakan teorema ceva itu sendiri. Namun konsep yang digunakan adalah konsep yang terdapat dalam pembuktian dari teorema ceva. Ingat bahwa, bukti dari suatu rumus lebih berari dari rumus itu sendiri)

D, E, dan F adalah titik-titik pada sisi BC, CA, AB dari segitiga ABC dan AD, BE, dan CF kongruen terhadap titik O. Buktikan bahwa

Solusi:

Penampakan soal tersebut kurang lebih seperti ini:

Berdasarkan sifat segitiga yang tercantum jauh di atas, didapat:

Dengan proses serupa didapatkan pula

dan

Dari ketiga persamaan tersebut, maka

bahwa

Untuk bukti yang lebih menarik klik link ini
atau bukti teorema ceva dengan menggunakan teorema menelaus di sini

sumber : http://mathmagics.wordpress.com/2010/02/01/bukti-teorema-ceva/

Teorema Ceva dan Menelaus

//
//

Diberikan sebuah segitiga ABC dengan titik D, E, dan F masing-masing terletak pada garis BC, CA, dan AB. (lihat gambar)

Teorema Ceva menyatakan bahwa

Garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1 titik jika dan hanya jika:

Sesuai dengan dalil Sinus, Teorema Ceva juga dapat dibentuk sebagai berikut.

Diberikan sebuah segitiga ABC. Titik D, E, dan F masing-masing terletak pada garis (atau perpanjangan garis) dari AB, BC, dan CA.

Teorema Menelaus menyatakan bahwa:
Titik D, E, dan F segaris jika dan hanya jika:

Tanda negatif disebabkan karena adanya ruas garis yang memiliki arah berlawanan (panjang yang negatif). Logikanya, AD+DB=AB.. Dengan demikian, salah satu dari AD atau DB haruslah negatif.

Sumber : http://mathmagics.wordpress.com/2009/12/21/teorema-ceva-dan-menelaus/

Tips Menggunakan Aturan Sinus dan Aturan Cosinus

Banyak siswa yang kebingungan ketika berhadapan dengan soal tentang aturan sinus dan aturan cosinus.
Ada tips dari saya. Tips ini saya dapatkan berdasarkan pengalaman saya mengerjakan soal-soal tentang aturan sinus dan aturan cosinus.

Tipsnya: waktu baca soal perhatikan berapa banyak sudut yang diketahui.

1. Jika ada dua sudut yang diketahui maka gunakan aturan sinus.
2. Jika hanya satu sudut yang diketahui kemudian lihat pertanyaannya:
2.1 Jika ditanya sudut maka gunakan aturan sinus.
2.2 Jika ditanya sisi maka gunakan aturan cosinus.
3. Jika tidak ada sudut yang diketahui maka gunakan aturan cosinus.

Contoh 1:
Pada segitiga ABC dengan sudut B = 105 derajat, sudut C = 45 derajat, dan panjang AB = 10V2.
Tentukan panjang BC?

Jawab:
Banyak sudut yang diketahui ada 2 yaitu sudut B dan sudut C. Gunakan aturan sinus!
BC : sin A = AB : sin C
BC = (AB : sin C) x sin A
BC = (10V2 : sin 45 derajat) x sin (180 – 105 – 45) derajat
BC = (10V2 : 1/2 V2) x sin 30 derajat
BC = (20) (1/2)
BC = 10

contoh 2:
Pada segitiga PQR diketahui panjang sisi RQ = 4, PQ = 8 dan besar sudut P = 30 derajat. Tentukan nilai sin R!

Jawab:
Banyak sudut yang diketahui ada 1 yaitu sudut P = 30 derajat.
Karena diketahui hanya satu sudut maka lihat pertanyaannya.Yang dintanyakan adalah sin R (sudut R). Gunakan aturan sinus!
sin R : PQ = sin P : RQ
sin R = (sin P : RQ) x PQ
sin R = (sin 30 derajat : 4) x 8
sin R = (1/2 : 4) x 8
sin R = 2 x 8
sin R = 16

Contoh 3:
Jika pada segitiga ABC diketahui panjang sisi AB = 9, AC = 24 dan besar sudut BAC = 60 derajat, maka panjang sisi BC = …

Jawab:
Banyak sudut yang diketahui ada 1 yaitu sudut BAC = sudut A = 60 derajat.
Karena diketahui hanya satu sudut maka lihat pertanyaannya. Yang dintanyakan adalah sisi BC. Gunakan aturan cosinus!
BC kuadrat = BA kuadrat + AC kuadrat – 2 . BA . AC . cos A
BC kuadrat = 9 kuadrat + 24 kuadrat – 2 (9) (24) (1/2)
BC kuadrat = 81 + 576 – (9) (24)
BC kuadrat = 657 – 216
BC kuadrat = 441
BC = V(441)
BC = 21

contoh 4:
Pada segitiga PQR diketahui PQ = 5, PR = 6, dan QR = 7. Nilai cos P = …

Jawab:
Jika tidak ada sudut yang diketahui maka gunakan aturan cosinus!
QR kuadrat = QP kuadrat + PR kuadrat – 2 . QR . PR . cos P
7 kuadrat = 5 kuadrat + 6 kuadrat – 2 (5) (6) cos P
49 = 25 + 36 – 2 (5) (6) cos P
49 = 61 – 60 cos P
49 – 61 = – 60 cos P
– 12 = – 60 cos P
12 = 60 cos P
12/60 = cos P
1/5 = cos P

Pythagoras dan Mesir Kuno

Saat masih belajar di SD dulu, kita sering diajari tentang Pythagoras dan “Segitiga Pythagoras”. Sebuah segitiga siku-siku yang salah satu sisinya sepanjang 2 satuan dan sisi lainnya sepanjang 3 satuan, pasti akan punya sisi panjang dengan ukuran 5 satuan. Dari satu contoh ini, kita juga bisa menghitung panjang sisi miring semua segitiga siku-siku hanya dengan menjumlahkan kwadrat kedua sisi yang lain dan menarik akar dari penjumlahan tersebut.

Phytagoras sudah tahu tentang luas sisi miring ini sejak 2500 tahun yang lalu. Tapi tahukah anda bahwa ia memperoleh pengetahuan itu dari orang Mesir Kuno? Saat masih muda, Pythagoras berguru kepada Thales (salah satu orang paling bijaksana di Athena), dan sang guru menyarankan Phytagoras muda pergi ke Mesir untuk belajar matematika.

Dari pengamatan Pythagoras melihat orang-orang Mesir menggunakan mistar dan tali pembanding untuk menghitung tinggi bangunan – maka ia terinspirasi untuk membuat hukum matematika untuk menghitung tinggi dan sisi miring segitiga siku-siku. Dari kunjungan ke Mesir itulah Pythagoras lalu memperkenalkan prinsip yang kita kenal dengan hukum Pythagoras, yang tentu saja berguna bukan hanya untuk mengukur tinggi piramid atau obelisk, tetapi juga untuk mengukur tinggi dan jarak hampir segala sesuatu di bumi, termasuk ketika modifikasi dari hukum Pythagoras ini digunakan untuk oleh Eratosthenes untuk mengukur lingkar bumi. Hasil hitungannya hanya terpaut 40 km, dari hasil perhitungan modern…!

Tanpa orang Mesir repot-repot membangun Piramida dan Obelisk, tentu tidak ada kepentingan untuk mencari hukum matematika yang diperlukan untuk menghitung benda-benda tinggi.

Tanpa Mesir Kuno, tidak ada segitiga Pythagoras.

http://ilmumatematika.com/pythagoras-dan-mesir-kuno/

FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB)

FPB merupakan faktor paling besar dari gabungan beberapa bilangan

Cara mencari FPB

1. Menggunakan Himpunan Faktor Persekutuan

Contoh :

1. Tentukan FPB dari bilangan 18 dan 24

Faktor 18  =  {1, 2, 3, 6, 9, 18}

Faktor 24  =  {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Faktor persekutuan dari 18 dan 24 =  { 1, 2, 3, 6}

FPB dari 18 dan 24 =  6

1. Tentukan FPB dari bilangan 75 dan 120

Faktor 75  =  {1, 3, 5, 15, 25, 75}

Faktor 120            =  {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}

Faktor persekutuan dari 75 dan 120  =  {1, 3, 4, 15}

FPB dari 75 dan 120  =  15

1. Tentukan FPB dari bilangan 36, 48 dan 72

Faktor 36  =  {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

Faktor 48  =  {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16,24, 48}

Faktor 72  =  {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}

Faktor persekutuan dari 36 dan 48  =  {1, 2, 3, 4, 6, 12}

FPB dari 36 dan 48  =  12

1. Menggunakan Pohon Faktor

• Buatlah pohon faktor dari kedua bilangan yang dicari FPB-nya.
• Tulis faktorisasi primanya.
• Pilihlah bilangan pokok yang sama pada kedua faktorisasi prima.
• Jika bilangan tersebut memiliki pangkat yang berbeda, ambillah bilangan prima dengan pangkat yang terendah.

Contoh :

1. Tentukan FPB dari bilangan 20 dan 30

20                                                                                       30

2        10                                          2        15

2        5                                   3        5

2² X 5                                   2 X 3 X 5

FPB    = 2 X 5

=  10

• 2 dan 5 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima kedua pohon faktor.
• Pangkat terendah dari 2 adalah 1.
• Pangkat terendah dari 5 adalah 1.
• Maka FPB =  2 X 5  =  10

1. Tentukan FPB dari bilangan 48 dan 60

48                                             60

2        24                                         2       30

2        12                                        2        15

2        6                                           3        5

2        3                                      2² X 3 X 5

2⁴ X 3

FPB   =  2² X 3

=  12

• 2 dan 3 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima kedua pohon faktor.
• Pangkat terendah dari 2 adalah 2.
• Pangkat terendah dari 3 adalah 1.
• Maka FPB =  2² X 3 =  12

1. Tentukan FPB dari bilangan 18, 30, dan 36

18                               30                                36

2        9                                  2       15                         2        18

3        3                            3        5                            2       9

2 X 3² 2 X 3 X 5                                 3        3

2² X 3²

FPB  =  2 X 3

=  6

• 2 dan 3 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima ketiga pohon faktor.
• Pangkat terendah dari 2 adalah 1.
• Pangkat terendah dari 3 adalah 1.
• Maka FPB =  2 X 3 =  6

1. Menggunakan Tabel

• Buatlah cara tabel untuk mencari faktorisasi prima dari bilangan yang dicari FPB-nya.
• Beri tanda faktor prima yang sama.

Contoh

1. Tentukan FPB dari bilangan 21 dan 35

	21	35
3	7	5
5	7	1
7	1	1

FPB  =  3

1. Tentukan FPB dari bilangan 36 dan 54

	36	54
2	18	27
2	9	27
3	3	9
3	1	3
3	1	1

FPB  = 2 X 3 X 3

=  2 X 3² =  18

1. Tentukan FPB dari bilangan 75, 105 dan 120

	75	105	120
2	75	105	60
2	75	105	30
2	75	105	15
3	25	35	5
5	5	7	1
5	1	7	1
7	1	1	1

FPB  =  3  X  5  =  15

Teori Himpunan

// Teori Himpunan adalah teori mengenai kumpulan objek-objek abstrak. Teori himpunan biasanya dipelajari sebagai salah satu bentuk:

• Teori himpunan naif, dan
• Teori himpunan aksiomatik, yang mendasarkan teori himpunan pada istilah-istilah dan relasi yang tak terdefinisikan, serta aksioma-aksioma yang nantinya akan membangun keseluruhan teori himpunan.

Himpunan

Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu kesatuan dengan keterangannya yang jelas. Untuk menyatakan suatu himpunan, digunakan huruf kapital seperti A, B, C dsb. Sedangkan untuk menyatakan anggota-anggotanya digunakan huruf kecil seperti a, b, c, dsb.

Ada empat cara untuk menyatakan suatu himpunan

1. Enumerasi: dengan mendaftarkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan didalam sepasang tanda kurung kurawal, dan diantara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Contoh:

A = {a, i, u, e, o

}

2. Simbol baku: dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati. Contoh:

P adalah himpunan bilangan bulat positif Z adalah himpunan bilangan bulat R adalah himpunan bilangan riil C adalah himpunan bilangan komplek

3. Notasi pembentuk himpunan: dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum (role) dari anggota. Contoh :

A = {x|x adalah himpunan bilangan bulat}

4. Diagram Venn: menyajikan himpunan secara grafis dengan tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memiliki himpunan semesta (U) yg digambarkan dng segi empat.

KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK)

KPK adalah kepanjangan dari Kelipatan Persekutuan Terkecil.
Yang dimaksud kelipatan adalah kelipatan dari suatu bilangan.
contoh : Kelipatan dari angka 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, … ( dan seterusnya.. )
contoh lain : Kelipatan dari angka 4 adalah 4, 8, 12, 16, 20, … ( dan seterusnya.. )
contoh lagi deh :  Kelipatan dari angka 6 adalah 6, 12, 18, 24, 30 … ( dan seterusnya.. )

Ok, udah ngerti kan tentang arti kelipatan ??

Sekarang yang dimaksud dengan KPK ( Kelipatan Persekutuan Terkecil ) adalah kelipatan dari suatu bilangan tapi yang nilainya paling kecil..
Biasanya soal-soal KPK itu menggunakan dua atau lebih bilangan yang dicari.

contoh :
Tentukan KPK dari 3 dan 4
Kelipatan 3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 …  ( dan seterusnya.. )
Kelipatan 4 =  4, 8, 12, 16, 20, 24, 28  … ( dan seterusnya.. )
Lihat kelipatan yang sama angka berapa ?? 12 dan 24 ( dua-duanya punya kelipatan yang nilainya 12 dan 24 kan ?? )
Pilih yang paling kecil adalah 12
Maka, KPK dari 3 dan 4 = 12

contoh lain :
Tentukan KPK dari 6 dan 9
Kelipatan 6 = 6, 12, 18, 24, 30 …  ( dan seterusnya.. )
Kelipatan 9 =  9, 18, 27,  … ( dan seterusnya.. )
Lihat kelipatan yang sama angka berapa ?? 18 ( dua-duanya punya kelipatan yang nilainya 18 kan ?? )
Pilih yang paling kecil adalah 18
Maka, KPK dari 6 dan 9 = 18

contoh lagi ( KPK dengan tiga angka ) :
Tentukan KPK dari 3, 4, dan 6
Kelipatan 3 =  3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 …  ( dan seterusnya.. )
Kelipatan 4 =  4, 8, 12, 16, 20, 24, 28  … ( dan seterusnya.. )
Kelipatan 6 = 6, 12, 18, 24, 30 …  ( dan seterusnya.. )
Lihat kelipatan yang ketiga-tiganya sama angka berapa ?? 12 dan 24 ( tiga-tiganya punya kelipatan yang nilainya 12 dan 24 kan ?? )
Pilih yang paling kecil adalah 12
Maka, KPK dari 3, 4 dan 6 = 12
Gampang banget kan ??

Aturan Sinus

Dalam trigonometri, hukum sinus ialah pernyataan tentang segitiga yang berubah-ubah di udara. Jika sisi segitiga ialah (kasus sederhana) a, b dan c dan sudut yang berhadapan bersisi (huruf besar) A, B and C, hukum sinus menyatakan

Rumus ini berguna menghitung sisi yang tersisa dari segitiga jika 2 sudut dan 1 sisinya diketahui, masalah umum dalam teknik triangulasi. Dapat juga digunakan saat 2 sisi dan 1 dari sudut yang tak dilampirkan diketahui; dalam kasus ini, rumus ini dapat memberikan 2 nilai penting untuk sudut yang dilampirkan. Saat ini terjadi, sering hanya 1 hasil akan menyebabkan seluruh sudut kurang daripada 180°; dalam kasus lain, ada 2 penyelesaian valid pada segitiga.
Timbal balik bilangan yang yang digambarkan dengan hukum sinus (yakni a/sin(A)) sama dengan diameter d . Kemudian hukum ini dapat dituliskan

Dapat ditunjukkan bahwa:

di mana

s merupakan semi-perimeter

Turunan

Buatlah segitiga dengan sisi a, b, dan c, dan sudut yang berlawanan A, B, dan C. Buatlah garis dari sudut C pada sisi lawannya c yang menonjol sekali dalam 2 segitiga siku-siku, dan sebut panjang garis ini h.
Dapat diamati bahwa:

and

Kemudian:

dan

Melakukan hal yang sama dengan garis yang digambarkan antara sudut A dan sisi a akan menghasilkan:

http://ilmumatematika.com/aturan-sinus/

Teori Logika

Logika berasal dari kata Yunani kuno λόγος (logos) yang berarti hasil pertimbangan akal pikiran yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam bahasa. Logika adalah salah satu cabang filsafat.

Sebagai ilmu, logika disebut dengan logike episteme (Latin: logica scientia) atau ilmu logika (ilmu pengetahuan) yang mempelajari kecakapan untuk berpikir secara lurus, tepat, dan teratur^[1].

Ilmu disini mengacu pada kemampuan rasional untuk mengetahui dan kecakapan mengacu pada kesanggupan akal budi untuk mewujudkan pengetahuan ke dalam tindakan. Kata logis yang dipergunakan tersebut bisa juga diartikan dengan masuk akal.

Logika sebagai ilmu pengetahuan

Logika merupakan sebuah ilmu pengetahuan dimana obyek materialnya adalah berpikir (khususnya penalaran/proses penalaran) dan obyek formal logika adalah berpikir/penalaran yang ditinjau dari segi ketepatannya.

Logika sebagai cabang filsafat

Logika adalah sebuah cabang filsafat yang praktis. Praktis disini berarti logika dapat dipraktekkan dalam kehidupan sehari-hari.

Logika lahir bersama-sama dengan lahirnya filsafat di Yunani. Dalam usaha untuk memasarkan pikiran-pikirannya serta pendapat-pendapatnya, filsuf-filsuf Yunani kuno tidak jarang mencoba membantah pikiran yang lain dengan menunjukkan kesesatan penalarannya.

Logika digunakan untuk melakukan pembuktian. Logika mengatakan yang bentuk inferensi yang berlaku dan yang tidak. Secara tradisional, logika dipelajari sebagai cabang filosofi, tetapi juga bisa dianggap sebagai cabang matematika. logika tidak bisa dihindarkan dalam proses hidup mencari kebenaran

Dasar-dasar Logika

Konsep bentuk logis adalah inti dari logika. Konsep itu menyatakan bahwa kesahihan (validitas) sebuah argumen ditentukan oleh bentuk logisnya, bukan oleh isinya. Dalam hal ini logika menjadi alat untuk menganalisis argumen, yakni hubungan antara kesimpulan dan bukti atau bukti-bukti yang diberikan (premis). Logika silogistik tradisional Aristoteles dan logika simbolik modern adalah contoh-contoh dari logika formal.

Dasar penalaran dalam logika ada dua, yakni deduktif dan induktif. Penalaran deduktif—kadang disebut logika deduktif—adalah penalaran yang membangun atau mengevaluasi argumen deduktif. Argumen dinyatakan deduktif jika kebenaran dari kesimpulan ditarik atau merupakan konsekuensi logis dari premis-premisnya. Argumen deduktif dinyatakan valid atau tidak valid, bukan benar atau salah. Sebuah argumen deduktif dinyatakan valid jika dan hanya jika kesimpulannya merupakan konsekuensi logis dari premis-premisnya.

Contoh argumen deduktif:

1. Setiap mamalia punya sebuah jantung
2. Semua kuda adalah mamalia
3. ∴ Setiap kuda punya sebuah jantung

Penalaran induktif—kadang disebut logika induktif—adalah penalaran yang berangkat dari serangkaian fakta-fakta khusus untuk mencapai kesimpulan umum.

Contoh argumen induktif:

1. Kuda Sumba punya sebuah jantung
2. Kuda Australia punya sebuah jantung
3. Kuda Amerika punya sebuah jantung
4. Kuda Inggris punya sebuah jantung
5. …
6. ∴ Setiap kuda punya sebuah jantung

Tabel di bawah ini menunjukkan beberapa ciri utama yang membedakan penalaran induktif dan deduktif.

Deduktif	Induktif
Jika semua premis benar maka kesimpulan pasti benar	Jika premis benar, kesimpulan mungkin benar, tapi tak pasti benar.
Semua informasi atau fakta pada kesimpulan sudah ada, sekurangnya secara implisit, dalam premis.	Kesimpulan memuat informasi yang tak ada, bahkan secara implisit, dalam premis.

Sejarah Logika

Masa Yunani Kuno

Logika dimulai sejak Thales (624 SM – 548 SM), filsuf Yunani pertama yang meninggalkan segala dongeng, takhayul, dan cerita-cerita isapan jempol dan berpaling kepada akal budi untuk memecahkan rahasia alam semesta.

Thales mengatakan bahwa air adalah arkhe (Yunani) yang berarti prinsip atau asas utama alam semesta. Saat itu Thales telah mengenalkan logika induktif.

Aristoteles kemudian mengenalkan logika sebagai ilmu, yang kemudian disebut logica scientica. Aristoteles mengatakan bahwa Thales menarik kesimpulan bahwa air adalah arkhe alam semesta dengan alasan bahwa air adalah jiwa segala sesuatu.

Dalam logika Thales, air adalah arkhe alam semesta, yang menurut Aristoteles disimpulkan dari:

• Air adalah jiwa tumbuh-tumbuhan (karena tanpa air tumbuhan mati)
• Air adalah jiwa hewan dan jiwa manusia
• Air jugalah uap
• Air jugalah es

Jadi, air adalah jiwa dari segala sesuatu, yang berarti, air adalah arkhe alam semesta.

Sejak saat Thales sang filsuf mengenalkan pernyataannya, logika telah mulai dikembangkan. Kaum Sofis beserta Plato (427 SM-347 SM) juga telah merintis dan memberikan saran-saran dalam bidang ini.

Pada masa Aristoteles logika masih disebut dengan analitica , yang secara khusus meneliti berbagai argumentasi yang berangkat dari proposisi yang benar, dan dialektika yang secara khusus meneliti argumentasi yang berangkat dari proposisi yang masih diragukan kebenarannya. Inti dari logika Aristoteles adalah silogisme.

Buku Aristoteles to Oraganon (alat) berjumlah enam, yaitu:

1. Categoriae menguraikan pengertian-pengertian
2. De interpretatione tentang keputusan-keputusan
3. Analytica Posteriora tentang pembuktian.
4. Analytica Priora tentang Silogisme.
5. Topica tentang argumentasi dan metode berdebat.
6. De sohisticis elenchis tentang kesesatan dan kekeliruan berpikir.

Pada 370 SM – 288 SM Theophrastus, murid Aristoteles yang menjadi pemimpin Lyceum, melanjutkan pengembangn logika.

Istilah logika untuk pertama kalinya dikenalkan oleh Zeno dari Citium 334 SM – 226 SM pelopor Kaum Stoa. Sistematisasi logika terjadi pada masa Galenus (130 M – 201 M) dan Sextus Empiricus 200 M, dua orang dokter medis yang mengembangkan logika dengan menerapkan metode geometri.

Porohyus (232 – 305) membuat suatu pengantar (eisagoge) pada Categoriae, salah satu buku Aristoteles.

Boethius (480-524) menerjemahkan Eisagoge Porphyrius ke dalam bahasa Latin dan menambahkan komentar- komentarnya.

Johanes Damascenus (674 – 749) menerbitkan Fons Scienteae.

Abad pertengahan dan logika modern ^[2]

Pada abad 9 hingga abad 15, buku-buku Aristoteles seperti De Interpretatione, Eisagoge oleh Porphyus dan karya Boethius masih digunakan.

Thomas Aquinas 1224-1274 dan kawan-kawannya berusaha mengadakan sistematisasi logika.

Lahirlah logika modern dengan tokoh-tokoh seperti:

• Petrus Hispanus (1210 – 1278)
• Roger Bacon (1214-1292)
• Raymundus Lullus (1232 -1315) yang menemukan metode logika baru yang dinamakan Ars Magna, yang merupakan semacam aljabar pengertian.
• William Ocham (1295 – 1349)

Pengembangan dan penggunaan logika Aristoteles secara murni diteruskan oleh Thomas Hobbes (1588 – 1679) dengan karyanya Leviatan dan John Locke (1632-1704) dalam An Essay Concerning Human Understanding

Francis Bacon (1561 – 1626) mengembangkan logika induktif yang diperkenalkan dalam bukunya Novum Organum Scientiarum.

J.S. Mills (1806 – 1873) melanjutkan logika yang menekankan pada pemikiran induksi dalam bukunya System of Logic

Lalu logika diperkaya dengan hadirnya pelopor-pelopor logika simbolik seperti:

• Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) menyusun logika aljabar berdasarkan Ars Magna dari Raymundus Lullus. Logika ini bertujuan menyederhanakan pekerjaan akal budi dan lebih mempertajam kepastian.
• George Boole (1815-1864)
• John Venn (1834-1923)
• Gottlob Frege (1848 – 1925)

Lalu Chares Sanders Peirce (1839-1914), seorang filsuf Amerika Serikat yang pernah mengajar di John Hopkins University,melengkapi logika simbolik dengan karya-karya tulisnya. Ia memperkenalkan dalil Peirce (Peirce’s Law) yang menafsirkan logika selaku teori umum mengenai tanda (general theory of signs)

Puncak kejayaan logika simbolik terjadi pada tahun 1910-1913 dengan terbitnya Principia Mathematica tiga jilid yang merupakan karya bersama Alfred North Whitehead (1861 – 1914) dan Bertrand Arthur William Russel (1872 – 1970).

Logika simbolik lalu diteruskan oleh Ludwig Wittgenstein (1889-1951), Rudolf Carnap (1891-1970), Kurt Godel (1906-1978), dan lain-lain.

Logika sebagai matematika murni

Logika masuk kedalam kategori matematika murni karena matematika adalah logika yang tersistematisasi. Matematika adalah pendekatan logika kepada metode ilmu ukur yang menggunakan tanda-tanda atau simbol-simbol matematik (logika simbolik). Logika tersistematisasi dikenalkan oleh dua orang dokter medis, Galenus (130-201 M) dan Sextus Empiricus (sekitar 200 M) yang mengembangkan logika dengan menerapkan metode geometri.

Puncak logika simbolik terjadi pada tahun 1910-1913 dengan terbitnya Principia Mathematica tiga jilid yang merupakan karya bersama Alfred North Whitehead (1861 – 1914) dan Bertrand Arthur William Russel (1872 – 1970).

Kegunaan logika

1. Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren.
2. Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.
3. Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri.
4. Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis
5. Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpkir, kekeliruan serta kesesatan.
6. Mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.
7. Terhindar dari klenik , gugon-tuhon ( bahasa Jawa )
8. Apabila sudah mampu berpikir rasional,kritis ,lurus,metodis dan analitis sebagaimana tersebut pada butir pertama maka akan meningkatkan citra diri seseorang.

Macam-macam logika

Logika alamiah

Logika alamiah adalah kinerja akal budi manusia yang berpikir secara tepat dan lurus sebelum dipengaruhi oleh keinginan-keinginan dan kecenderungan-kecenderungan yang subyektif. Kemampuan logika alamiah manusia ada sejak lahir.

Logika ilmiah

Logika ilmiah memperhalus, mempertajam pikiran serta akal budi.

Logika ilmiah menjadi ilmu khusus yang merumuskan azas-azas yang harus ditepati dalam setiap pemikiran. Berkat pertolongan logika ilmiah inilah akal budi dapat bekerja dengan lebih tepat, lebih teliti, lebih mudah dan lebih aman. Logika ilmiah dimaksudkan untuk menghindarkan kesesatan atau, paling tidak, dikurangi.

Program Linear

Program Linear adalah suatu metode untuk mencari nilai optimum dari suatu bentuk linear (bentuk atau fungsi objektive atau fungsi tujuan) pada daerah himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear.

• Menentukan Nilai optimum dengan cara :

1. Menggambar daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear.
2. Menentukan koordinat titik-titik sudut pada daerah tersebut.
3. Menentukan nilai optimum bentuk linear pada titik-titik tersebut.

• Menentukan Persamaan linear Jika :

1. Melalui titik ( 0 , a ) dan ( b , 0 )
2. Melalui titik ( 0 , 0 ) dan ( b , a )
3. Melalui titik ( x₁ , y₁ ) dan ( x₂ , y₂ )
4. Melalui titik ( x₁ , y₁ ) dan gradien m

• Menentukan daerah hasil dari pertidaksamaan linear

Kupas Tuntas Pornografi di Internet

Tahukah anda beberapa kenyataan ini?

• Setiap detik, 3075,64 USD dibelanjakan untuk pornografi
• Setiap detik, 28258 pengguna internet melihat situs pornografi
• Setiap detik, 372 pengguna internet mengetikkan kata kunci yang berhubungan dengan pornografi di mesin pencari
• Jumlah halaman situs pornografi di dunia saat ini mencapai 420 juta

Mencengangkan? Ya, dan juga sangat memilukan. Mengambil timing maraknya diskusi tentang rencana pemerintah melakukan filtering situs porno, ditambah gulung tikarnya beberapa komunitas situs porno karena diundangkannya UU ITE (meskipun sebenarnya UU ITE tidak secara eksplisit menyebut tentang pornografi), saya mencoba membahas topik pornografi di blog ini. Tulisan pertama akan membahas tentang analisa data dan statistik tentang pornografi di Internet.

Sebenarnya masalah pornografi Internet sudah sering saya bahas pada saat keluyuran ilmiah di berbagai kampus. Baik pada saat ngisi tema spesifik tentang pornografi atau tema umum tentang bagaimana Internet dimanfaatkan. Pada tulisan ini, saya mencoba meng-kompilasi dan meng-analisa data dari  tiga sudut pandang: Perilaku Pengguna Internet, Situs Pornografi dan Industri Pornografi.

PERILAKU PENGGUNA INTERNET

Yang pertama, kita bahas masalah bagaimana sebenarnya perilaku pengguna Internet. Cukup menarik apa yang ditulis oleh Dr. Robert Weiss dari Sexual Recovery Institute di Washington Times tahun 2000. Weiss menyatakan bahwa:

Sex adalah topik no #1 yang dicari di Internet

Studi lain yang dilakukan oleh MSNBC/Standford/Duquesne menyatakan:

60% kunjungan internet adalah menuju ke situs sex (porno)

Data ini disempurnakan oleh publikasi dari The Kaiser Family Foundation yang menyatakan bahwa:

70% kunjungan pengguna Internet belasan tahun adalah menuju ke situs pornografi

BTW, saya jadi teringat penelitian yang dilakukan oleh teman-teman di  Kompetigi (Komunitas Penggiat Teknologi Informasi Kediri) Kediri. Perilaku pengguna Internet di Kediri juga tidak terlalu jauh berbeda dengan beberapa data diatas. Kompetigi menarik kesimpulan dari penelitian yang dibuat bahwa:

78 Persen Pelajar Kediri Datang Ke Warnet Untuk Buka Situs Porno

Berita diatas cukup menghebohkan dunia persilatan maya di Indonesia, meskipun sebenarnya kalau kita ikuti terus perkembangan pornografi di Internet sejak era tahun 1995, ya memang seperti itulah kondisinya

Penelitian lain yang dikeluarkan oleh TopTenReviews.Com menyatakan bahwa sebenarnya dominasi pengunjung Internet di Amerika justru orang berumur 35-44 tahun (26%). Lengkapnya lihat dari gambar di bawah.

Berikutnya kita coba bahas masalah pencarian situs pornografi di mesin pencari. Masih belum terlalu mengejutkan, data menunjukkan keyword SEX tetap mendominasi keyword pencarian dengan tingkat pencarian lebih dari 75 juta di tahun 2006. Menyusul dibawahnya pencarian untuk keyword Adult Dating, Adult DVD dan Porn. Data lengkap seluruh terminologi pornografi yang sering digunakan pada mesin pencari ada di bawah. Data dilengkapi dengan demografi pencari yang dikategorikan berdasarkan jenis kelamin dan umur.

SITUS PORNOGRAFI

Banyak organisasi yang melakukan research tentang statistik situs pornografi di Internet. Saya biasa menyajikan data yang dikeluarkan American Demographic Magazine yang menghitung jumlah situs porno dan jumlah halaman situs porno:

Jumlah Situs Porno di Dunia:

• 22.100 pada 1997
• 280.300 pada 2000
• 1.3 juta pada tahun 2003

Jumlah Halaman Situs Porno di Dunia:

• 14 juta pada tahun 1998
• 260 juta pada tahun 2003

Bisa dianalisa dari data diatas bahwa kenaikan jumlah situs dan halaman situs porno di dunia bisa mencapai 5-10 kali dalam 3 tahun.

Penelitian lain yang menghitung jumlah situs dan halaman situs porno adalah TopTenReviews.Com. Saya lihat angkanya tidak terlalu jauh berbeda dengan American Demographic Magazine. Hanya memang data yang sebagian diambil di tahun 2006 dan 2007 di TopTenReviews.Com relatif lebih lengkap. Paling tidak untuk data jumlah situs dan halaman situs porno adalah seperti berikut:

• Jumlah Situs Porno: 4.2 juta (12% dari total situs di dunia)
• Jumlah Halaman Situs Porno: 420 juta

Perlu diingat bahwa produsen situs pornografi di dunia sangat mahir menerapkan berbagai teknik internet marketing, Search Engine Optimization (SEO) dan berbagai taktik untuk menyebarkan produk yang mereka buat. Salah satu yang membuat pornografi susah dicegah adalah akibat jebakan akses tidak sengaja. Produsen pornografi di dunia bisa menggunakan berbagai taktik di bawah untuk mengantarkan pengguna Internet ke situs pornografi:

• Kesalahan tulis keyword: shareware vs. sharware
• Keyword biasa: toys, boys, pets, etc
• Kedekatan nama domain: whitehouse.com, coffeebeansupply.com, teenagershideout.com, clothingcatalog.com, watersports.com
• Penggunaan nama brand: Disney, Nintendo, Barbie, Levis, etc
• Email spam: 30% spam adalah pornografi

Fakta menarik lain adalah sebenarnya negara mana yang menjadi penyumbang terbesar konten pornografi di dunia. Jawabannya tentu kita ketahui bersama, Amerika! Amerika menyumbang 89% situs pornografi di dunia. Jerman, Inggris, Australia, Jepang dan Belanda menyusul di belakangnya.

Beberapa data lain dari TopTenReviews.Com yang berhubungan dengan situs pornografi diantaranya adalah:

• Pencarian harian situs pornografi: 68 juta (25% dari total pencarian)
• Jumlah email pornografi perhari: 2.5 miliar (8% dari total email)
• Prosentase pengguna internet yang melihat pornografi: 42.7%
• Jumlah download bulanan konten pornografi: 1.5 miliar (35% dari total download)

INDUSTRI PORNOGRAFI

Bagaimana dengan industri pornografi di dunia? Munkin ini pembahasan yang paling menarik dari tulisan ini 🙂 Sedikit kenyataan aneh bahwa meskipun Amerika penyumbang situs porno terbesar di dunia, ternyata hanya menduduki urutan keempat dalam jumlah pendapatan (revenue) dari industri pornografi di dunia. Pemenangnya justru China yang diikuti oleh Korea Selatan dan Jepang. Silakan amati data di bawah:

Total pendapatan pertahun industri pornografi di dunia adalah sekitar 97 miliar USD, ini setara dengan total pendapatan perusahaan besar di Amerika yaitu: Microsoft, Google, Amazon, eBay, Yahoo!, Apple, Netflix and EarthLink. Ini menunjukkan betapa dahsyatnya industri pornografi di dunia. Sedikit berkaitan ini, salah satu tulisan di CNET tahun 1999 menyebutkan bahwa:

Pornografi online adalah produk ecommerce yang secara konsisten menduduki peringkat pertama dalam bisnis di Internet

Oh ya, seperti tadi saya sebutkan bahwa China yang bukan produsen terbesar pornografi di Internet ternyata mendapatkan income terbesar dari bisnis pornografi. Masalah ini terjawab karena ternyata produk yang menguasai industri pornografi bukanlah berbasis Internet, tapi masih di media Video dan DVD. Data lain menyebutkan bahwa China adalah pengekspor sex toys yang terbesar di dunia (mencapai 80% dunia) dan lebih dari 1000 industri di China menghasilkan produk-produk untuk “dewasa”. Data tentang ragam produk pornografi di Amerika saya tampilkan di bawah.

Dari berbagai data tentang pornografi Internet diatas, yang cukup menggemaskan, ternyata penikmat dan penerima ekses negatif dari industri pornografi di Internet bukan negara-negara produsen, tapi justru negara-negara kecil dan berkembang. Kita bisa lihat dari tren request pencarian dengan tiga kata kunci, yaitu xxx, porn dan sex, semuanya dikuasai oleh negara kecil atau berkembang seperti Pakistan, Afrika Selatan, India, Bolivia, Turki, dan juga Indonesia

Saya yakin tulisan ini belum mengupas secara tuntas mengenai masalah pornografi di Internet . Mudah-mudahan dalam waktu dekat saya bisa lanjutkan lagi dengan tulisan tentang bagaimana strategi mencegah pornografi di Internet. Pokoknya ikuti terus seri tulisan ini.

Kupas Tuntas Pornografi di Internet