Matematika dalam Permainan Galah Panjang

Permainan tradisional yang dimainkan diluar rumah. Permainan ini bukan saja dimainkan oleh anak-anak tetapi juga sebagai pertunjukan di pesta-pesta kebudayaan kadangkala dipertontonkan untuk tamu oleh orang dewasa.

Permainan ini tidak dimainkan secara individu, tetapi dengan dua grup. Terdiri dari kelompok penyerang dan kelompok bertahan. Setiap kelompok memiliki para pemain tidak kurang dari empat orang dan biasanya terdiri dari sepuluh pemain saja.

Salah seorang dari anggota grup itu akan ditunjuk sebagai ketua dan lainnya adalah sebagai anggota. Tugas ketua kelompok adalah sebagai mengawasi setiap penyerang yang masuk dan keluar dari lapangan, yaitu disepanjang garis awal, garis tengah dan garis disekeliling lapangan. Sedangkan anggota hanya menjaga garis melintang di dalam lapangan.

Sebelum permainan dimulai dinilai dilakukan undian dengan koin oleh kedua ketua tim. Siapa yang menang akan menjadi tim penyerang. Penetapan penghitungan bertukar giliran akan ditentukan terlebih dahulu, apakah hanya dengan sentuhan ke badan para pemain atau dengan menangkap para pemain.

Lapangan permainan

Galah Panjang
galah_gelangangKawasan permainan yang cukup luas diperlukan, baik di atas tanah, kawasan bersimin dan di atas padang. Tidak ada ukuran khas penetapan yang harus diikuti, tetapi diperkirakan antara enam hingga delapan meter lebar dan jarak untuk setiap garis lintang lapangan antara tiga hingga empat meter. Jumlah garis lintang bagi anggota tidak terbatas atau menurut jumlah pemain bagi setiap tim.

Sebagai penanda garis, akan digunakan tepung atau tali jika dimainkan di atas padang. Cat juga dapat digunakan jika lapangan Semen. Tetapi kebanyakan anak-anak akan mebuat garis tersebut di atas tanah.

Cara Bermain

Beberapa saat sebelum permainan dimulai, ketua tim penyerang akan menepuk tangan ketua tim bertahan di kotak kepala lapangan. Ini menandakan permainan sudah dimulai dan anggota boleh menyerang, baik secara individu atau beramai-ramai.

Setiap pemain harus melewati semua garis hingga garis belakang sekali dan kembali sampai ke garis depan tanpa dapat disentuh oleh pasukan bertahan. Jika salah seorang dapat disentuh oleh pasukan bertahan maka tim itu dikira mati. Perubahan posisi akan dilakukan yaitu tim yang bertahan akan jadi pasukan penyerang dan sebaliknya.

Peraturan permainan

Semua pemain tim penyerang akan dikira mati jika salah seorang dari mereka disentuh oleh para pemain tim bertahan.

Pemain tim penyerang tidak boleh mundur kebelakang setelah melewati garis lapangan, ia dikira mati yang akan menyebabkan perubahan posisi di tim.

Pasukan penyerang dikira mati jika terdapat pemainnya keluar dari garis lapangan.

Pasukan penyerang dikira menang jika salah seorang dari pemainnya dapat melewati semua garis hingga kembali ke baris permulaan. Satu poin diberikan kepada tim ini dan Permainan akan dijalankan kembali.

Mana-mana pasukan yang dapat mengumpulkan poin tertinggi akan dihitung memenangkan Pertandingan tersebut.

KONSEP MATEMATIKA
Dari konteks permainan galah panjang ini dapat digunakan untuk mempelajari beberapa materi matematika mulai dari peluang untuk siswa kelas 3 SMP. Biasanya pengetosan dilakukan dengan menggunakan koin. Kemudian materi bangunan datar seperti persegi panjang dan persegi untuk siswa-siswa mulai dari Sekolah Dasar. Mereka bisa menghitung keliling,luas dan panjang semua tali yang dibutuhkan untuk membuat lapangan tersebut. Dari gambar siswa juga bisa mempelajari perkalian yaitu banyaknya persegi yang terbentuk dari sebuah persegi panjang. Dan banyak hal lain yang masih bisa dipelajari dari permainan tradisional galah panjang ini. Selain mempelajari matematika siswa juga akan mengenal kebudayaannya sendiri yaitu khasanah budaya melayu.

ALAT PERAGA

Berikut alat peraga matematika yang dapat digunakan dalam pembelajaran:

  • (a+b)^2

ab2

aba-b

a-b2

  • (a+b)^3

ab3

algebra-konsep

alkkhorizmi-konsep

khwarizmi-contoh

blokhimpunan

klinimeter

lompatkatak

jurusantigaangka

sesatanheksagon

volumekerucut
source : pendidikanmasadepan

Thales

Thales
(624 – 550 SM)
ThalesThales 

Riwayat

Perintis matematika dan filsafat Yunani adalah Thales. Lahir dan meninggal di kota kecil Miletus yang terletak di pantai barat Asia Kecil, sebuah kota yang menjadi pusat perdagangan. Kapal-kapal pedagang dengan mudah berlayar ke Nil di Mesir, sedangkan karavan melakukan perjalanan lewat darat menuju kota di Babylon. Pendudulk Militus suka melakukan kontak dagang dengan kota-kota di Yunani dan warga Phoenisia. Di kota ini juga merupakan tempat pertemuan [dunia] Timur dan Barat, dan tempat lahirnya Thales.
Awalnya, Thales adalah seorang pedagang, profesi yang membuatnya sering melakukan perjalanan. Dalam suatu kesempatan berdagang ke Mesir dan Babilonia (pada maka pemerintahan Nebukadnesar), dalam waktu senggangnya, Thales mempelajari astronomi dan geometri. Hal ini dipicu ketertarikannya bahwa dengan menggunakan ‘alat-alat’ tersebut, mereka dapat memprediksi gerhana matahari setiap tahunnya.
Theorema Thales
Thales mengemukakan proposisi yang dikenal dengan theorema Thales, yaitu:
Lingkaran dibagi dua oleh garis yang melalui pusatnya yang disebut dengan diameter.
Besarnya sudut-sudut alas segitiga sama kali adalah sama besar.
Sudut-sudut vertikal yang terbentuk dari dua garis sejajar yang dipotong oleh sebuah garis lurus menyilang, sama besarnya.
Apabila sepasang sisinya, sepasang sudut yang terletak pada sisi itu dan sepasang sudut yang terletak dihadapan sisi itu sama besarnya, maka kedua segitiga itu dikatakan sama sebangun.
Segitiga dengan alas diketahui dan sudut tertentu dapat digunakan untuk mengukur jarak kapal.
Tidak ada catatan lebih jauh tentang prestasi Thales yang dapat disimak karena tidak ada bukti-bukti akurat. Bukti dicoba dicari lewat catatan dari para muridnya seperti: Aristoteles dan Eudemus dari Rhodes (± 320 SM), yang kurun waktunya relatif terlalu lama. Catatan Eudemus menyebutkan bahwa Thales adalah orang yang ‘mengubah geometri menjadi bentuk formal yang dapat dipelajari oleh semua orang’ karena mendasarkan diri pada prinsip-prinsip dan melakukan investigasi terhadap theorema-theorema dengan sudat pandang seorang intelektual. Thales berbicara tentang garis, lingkaran dan bentuk-bentuk lainnya dengan cara membayangkan (abstrak). Garis bukan hanya susutatu yang dapat digurat dan dilihat di atas pasir, tapi merupakan obyek yang terpeta pada imajinasi kita. Artinya secara abstrak bahwa suatu garis lurus atau lingkaran bulat berada dalam mental kita.
Matematikawan serba bisa
Aktivitas Thales lebih dikenal – dari berbagai sumber terpisah, sebagai matematikawan terapan. Mengukur tinggi piramida dengan mengukur tinggi bayangan dengan menggunakan tongkat, memprediksi gerhana matahari, menentukan setahun adalah 360 hari (sudah dikenal lama oleh bangsa Mesir) maupun jarak kapal di laut dengan lewat cara proporsi/memadankan bentuk segitiga adalah catatan “kehebatan” Thales. Gerhana matahari disebutkannya  akan terjadi pada tanggal 28 Mei atau 30 September pada tahun 609 SM. Catatan yang ada menyebutkan bahwa gerhana matahari terjadi setiap kurun waktu 18 tahun 11 hari. Ketepatan prediksi ini membuat namanya sangat terkenal dan diabadikan sebagai salah satu dari tujuh orang bijak (sage) yang terdapat pada hikayat Yunani
Naluri pedagang yang ada pada dirinya, dimana diketahui Thales “memeras” buah zaitun (olive) untuk dijadikan minyak ketika panen melimpah dan akhirnya memberikan  keuntungan berlimpah, menjadi pedagang garam sama seperti komentar tentang dirinya sebagai pengamat bintang, penentang hidup selibat bahkan sebagai negarawan yang mempunyai visi jauh ke depan. Tulisan Thales dalam bidang astronomi lebih dikenal daripada karyanya dalam bidang geometri.
Ketenaran ini membuat dirinya mempunyai banyak murid. Anaximander, Anaximenes, Mamercus dan Mandryatus adalah nama dari beberapa muridnya, namun yang sangat terkenal adalah nama yang disebutkan pertama. Anaximander (611 – 545 SM), sukses menggantikan posisi Thales di Miletus.
Sebuah kisah
Thales hidup dalam masa kerajaan yang saling serang untuk memperluas wilayahnya. Keahlian Thales dalam bidang rekayasa diuji pada masa perang ini. Raja Croesus, yang mengagumi Thales, ingin menyerang negara tetangga dan para prajurit harus menyeberangi sungai Halys. Kerajaan Croesus diperkirakan ada di Mesopotamia atau Mesir.
Belum ada jembatan ponton pada masa itu dan tidak ada waktu membangun jembatan permanen.Croesus menyuruh Thales sebagai seorang filsuf sekaligus matematikawan untuk memecahkan problem ini. Di bawah pengarahan Thales dibuatlah kanal untuk mengalihkan aliran sungai untuk sementara. Begitu para prajurit menyeberang dan sukses merebut negara tetangga, kanar kembali ditutup dan aliran sungai kembali seperti semula.
Namun dalam perang tidak ada yang menang selamanya. Raja Cyrus dari Persia akhirnya dapat menangkap dan menawan penerus kerajaan Croesus, Lydia, dalam sebuah pertempuran.  Bagaimana akhir atau keruntuhan kerajaan itu sendiri tidak pernah diketahui.
Sebuah Anekdot
Diperkirakan Olimpiade mulai diselenggarakan pada tahun 776 SM, dimana ketika itu sastra Yunani sedang berkembang pesat. Homer dan Hesoid, seperti diketahui, berkarya pada masa-masa ini.
Dalam suatu malam Thales terlalu asyik memandangi bintang-bintang di langit sambil berjalan. Tidak menyadari bahwa di depan terdapat parit, Thales terjatuh ke dalam parit. Seorang nenek yang melihat berkata, “ Bagaimana kamu dapat menjelaskan apa yang terdapat di langit, sedangkan parit yang ada didepanmu saja tidak terlihat?”
Sumbangsih
Barangkali dapat disebut matematikawan pertama yang merumuskan theorema atau proposisi, dimana tradisi ini menjadi lebih jelas setelah dijabarkan oleh Euclid. Landasan matematika sebagai ilmu terapan rupanya sudah diletakkan oleh Thales, sebelum muncul Pythagoras yang membuat bilangan adalah sesuatu yang sakral, selain memanfaatkan imajinasi

Thales (624 – 550 SM)
RiwayatPerintis matematika dan filsafat Yunani adalah Thales. Lahir dan meninggal di kota kecil Miletus yang terletak di pantai barat Asia Kecil, sebuah kota yang menjadi pusat perdagangan. Kapal-kapal pedagang dengan mudah berlayar ke Nil di Mesir, sedangkan karavan melakukan perjalanan lewat darat menuju kota di Babylon. Pendudulk Militus suka melakukan kontak dagang dengan kota-kota di Yunani dan warga Phoenisia. Di kota ini juga merupakan tempat pertemuan [dunia] Timur dan Barat, dan tempat lahirnya Thales.
Awalnya, Thales adalah seorang pedagang, profesi yang membuatnya sering melakukan perjalanan. Dalam suatu kesempatan berdagang ke Mesir dan Babilonia (pada maka pemerintahan Nebukadnesar), dalam waktu senggangnya, Thales mempelajari astronomi dan geometri. Hal ini dipicu ketertarikannya bahwa dengan menggunakan ‘alat-alat’ tersebut, mereka dapat memprediksi gerhana matahari setiap tahunnya.
Theorema ThalesThales mengemukakan proposisi yang dikenal dengan theorema Thales, yaitu:
Lingkaran dibagi dua oleh garis yang melalui pusatnya yang disebut dengan diameter.Besarnya sudut-sudut alas segitiga sama kali adalah sama besar.Sudut-sudut vertikal yang terbentuk dari dua garis sejajar yang dipotong oleh sebuah garis lurus menyilang, sama besarnya.Apabila sepasang sisinya, sepasang sudut yang terletak pada sisi itu dan sepasang sudut yang terletak dihadapan sisi itu sama besarnya, maka kedua segitiga itu dikatakan sama sebangun.Segitiga dengan alas diketahui dan sudut tertentu dapat digunakan untuk mengukur jarak kapal.Tidak ada catatan lebih jauh tentang prestasi Thales yang dapat disimak karena tidak ada bukti-bukti akurat. Bukti dicoba dicari lewat catatan dari para muridnya seperti: Aristoteles dan Eudemus dari Rhodes (± 320 SM), yang kurun waktunya relatif terlalu lama. Catatan Eudemus menyebutkan bahwa Thales adalah orang yang ‘mengubah geometri menjadi bentuk formal yang dapat dipelajari oleh semua orang’ karena mendasarkan diri pada prinsip-prinsip dan melakukan investigasi terhadap theorema-theorema dengan sudat pandang seorang intelektual. Thales berbicara tentang garis, lingkaran dan bentuk-bentuk lainnya dengan cara membayangkan (abstrak). Garis bukan hanya susutatu yang dapat digurat dan dilihat di atas pasir, tapi merupakan obyek yang terpeta pada imajinasi kita. Artinya secara abstrak bahwa suatu garis lurus atau lingkaran bulat berada dalam mental kita.
Matematikawan serba bisaAktivitas Thales lebih dikenal – dari berbagai sumber terpisah, sebagai matematikawan terapan. Mengukur tinggi piramida dengan mengukur tinggi bayangan dengan menggunakan tongkat, memprediksi gerhana matahari, menentukan setahun adalah 360 hari (sudah dikenal lama oleh bangsa Mesir) maupun jarak kapal di laut dengan lewat cara proporsi/memadankan bentuk segitiga adalah catatan “kehebatan” Thales. Gerhana matahari disebutkannya  akan terjadi pada tanggal 28 Mei atau 30 September pada tahun 609 SM. Catatan yang ada menyebutkan bahwa gerhana matahari terjadi setiap kurun waktu 18 tahun 11 hari. Ketepatan prediksi ini membuat namanya sangat terkenal dan diabadikan sebagai salah satu dari tujuh orang bijak (sage) yang terdapat pada hikayat Yunani
Naluri pedagang yang ada pada dirinya, dimana diketahui Thales “memeras” buah zaitun (olive) untuk dijadikan minyak ketika panen melimpah dan akhirnya memberikan  keuntungan berlimpah, menjadi pedagang garam sama seperti komentar tentang dirinya sebagai pengamat bintang, penentang hidup selibat bahkan sebagai negarawan yang mempunyai visi jauh ke depan. Tulisan Thales dalam bidang astronomi lebih dikenal daripada karyanya dalam bidang geometri.
Ketenaran ini membuat dirinya mempunyai banyak murid. Anaximander, Anaximenes, Mamercus dan Mandryatus adalah nama dari beberapa muridnya, namun yang sangat terkenal adalah nama yang disebutkan pertama. Anaximander (611 – 545 SM), sukses menggantikan posisi Thales di Miletus.
Sebuah kisah Thales hidup dalam masa kerajaan yang saling serang untuk memperluas wilayahnya. Keahlian Thales dalam bidang rekayasa diuji pada masa perang ini. Raja Croesus, yang mengagumi Thales, ingin menyerang negara tetangga dan para prajurit harus menyeberangi sungai Halys. Kerajaan Croesus diperkirakan ada di Mesopotamia atau Mesir.
Belum ada jembatan ponton pada masa itu dan tidak ada waktu membangun jembatan permanen.Croesus menyuruh Thales sebagai seorang filsuf sekaligus matematikawan untuk memecahkan problem ini. Di bawah pengarahan Thales dibuatlah kanal untuk mengalihkan aliran sungai untuk sementara. Begitu para prajurit menyeberang dan sukses merebut negara tetangga, kanar kembali ditutup dan aliran sungai kembali seperti semula.
Namun dalam perang tidak ada yang menang selamanya. Raja Cyrus dari Persia akhirnya dapat menangkap dan menawan penerus kerajaan Croesus, Lydia, dalam sebuah pertempuran.  Bagaimana akhir atau keruntuhan kerajaan itu sendiri tidak pernah diketahui.
Sebuah AnekdotDiperkirakan Olimpiade mulai diselenggarakan pada tahun 776 SM, dimana ketika itu sastra Yunani sedang berkembang pesat. Homer dan Hesoid, seperti diketahui, berkarya pada masa-masa ini.
Dalam suatu malam Thales terlalu asyik memandangi bintang-bintang di langit sambil berjalan. Tidak menyadari bahwa di depan terdapat parit, Thales terjatuh ke dalam parit. Seorang nenek yang melihat berkata, “ Bagaimana kamu dapat menjelaskan apa yang terdapat di langit, sedangkan parit yang ada didepanmu saja tidak terlihat?”
SumbangsihBarangkali dapat disebut matematikawan pertama yang merumuskan theorema atau proposisi, dimana tradisi ini menjadi lebih jelas setelah dijabarkan oleh Euclid. Landasan matematika sebagai ilmu terapan rupanya sudah diletakkan oleh Thales, sebelum muncul Pythagoras yang membuat bilangan adalah sesuatu yang sakral, selain memanfaatkan imajinasi

Sejarah Matematika

Secara Geografis

1. Mesopotamia
- Menentukan system bilangan pertama kali
- Menemukan system berat dan ukur
- Tahun 2500 SM system desimal tidak lagi digunakan dan lidi diganti oleh notasi berbentuk baji

2. Babilonia
- Menggunakan sitem desimal dan π=3,125
- Penemu kalkulator pertama kali
- Mengenal geometri sebagai basis perhitungan astronomi
- Menggunakan pendekatan untuk akar kuadrat
- Geometrinya bersifat aljabaris
- Aritmatika tumbuh dan berkembang baik menjadi aljabar retoris yang berkembang
- Sudah mengenal teorema Pythagoras

3. Mesir Kuno
- Sudah mengenal rumus untuk menghitung luas dan isi
- Mengenal system bilangan dan symbol pada tahun 3100 SM
-Mengenal tripel Pythagoras
- Sitem angka bercorak aditif dan aritmatika
- Tahun 300 SM menggunakan system bilangan berbasis 10

4. Yunani Kuno
- Pythagoras membuktikan teorema Pythagoras secara matematis (terbaik)
- Pencetus awal konsep[ nol adalah Al Khwarizmi
- Archimedes mencetuskan nama parabola, yang artinya bagian sudut kanan kerucut
- Hipassus penemu bilangan irrasional
- Diophantus penemu aritmatika (pembahasan teori-teori bilangan yang isinya merupakan pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat sebuah persamaan)
- Archimedes membuat geometri bidang datar
- Mengenal bilangan prima

5. India
- Brahmagyupta lahir pada 598-660 Ad
- Aryabtha (4018 SM) menemukan hubungan keliling sebuah lingkaran
- Memperkenalkan pemakaian nol dan desimal
- Brahmagyupta menemukan bilangan negatif
- Rumus a2+b2+c2 telah ada pada “Sulbasutra”
- Geometrinya sudah mengenal tripel Pythagoras,teorema Pythagoras,transformasi dan segitiga pascal

6. China
- Mengenal sifat-sifat segitiga siku-siku tahun 3000 SM
- Mengembangkan angka negatif, bilangan desimal, system desimal, system biner, aljabar, geometri, trigonometri dan kalkulus
- Telah menemukan metode untuk memecahkan beberapa jenis persamaan yaitu persamaan kuadrat, kubikdan qualitik
- Aljabarnya menggunakan system horner untuk menyelesaikan persamaan kuadrat

Berdasarkan Tokoh

1. Thales (624-550 SM)
Dapat disebut matematikawan pertama yang merumuskan teorema atau proposisi, dimana tradisi ini menjadi lebih jelas setelah dijabarkan oleh Euclid. Landasan matematika sebagai ilmu terapan rupanya sudah diletakan oleh Thales sebelum muncul Pythagoras yang membuat bilangan.

2. Pythagoras (582-496 SM)
Pythagoras adalah orang yang pertama kali mencetuskan aksioma-aksioma, postulat-postulat yang perlu dijabarkan ter lebih dahulu dalam mengembangkan geometri. Pythagoras bukan orang yang menemukan suatu teorema Pythagoras namun dia berhasil membuat pembuktian matematis. Persaudaraan Pythagoras menemukan 2 sebagai bilangan irrasional.

3. Socrates (427-347 SM)
Ia merupakan seorang filosofi besar dari Yunani. Dia juga menjadi pencipta ajaran serba cita, karena itu filosofinya dinamakan idealisme. Ajarannya lahir karena pergaulannya dengan kaum sofis. Plato merupakan ahli piker pertama yang menerima paham adanya alam bukan benda.

4. Ecluides (325-265 SM)
Euklides disebut sebagai “Bapak Geometri” karena menemuka teori bilangan dan geometri. Subyek-subyek yang dibahas adalah bentuk-bentuk, teorema Pythagoras, persamaan dalam aljabar, lingkaran, tangen,geometri ruang, teori proporsi dan lain-lain. Alat-alat temuan Eukluides antara lain mistar dan jangka.

5. Archimedes (287-212 SM)
Dia mengaplikasikan prinsip fisika dan matematika. Dan juga menemukan perhitungan π (pi) dalam menghitung luas lingkaran. Ia adalah ahli matematika terbesar sepanjang zaman dan di zaman kuno. Tiga kaaarya Archimedes membahas geometri bidang datar, yaitu pengukuran lingkaran, kuadratur dari parabola dan spiral.

6. Appolonius (262-190 SM)
Konsepnya mengenai parabola, hiperbola, dan elips banyak memberi sumbangan bagi astronomi modern. Ia merupakan seorang matematikawan tang ahli dalam geometri. Teorema Appolonius menghubungkan beberapa unsur dalam segitiga.
7. Diophantus (250-200 SM)
Ia merupakan “Bapak Aljabar” bagi Babilonia yang mengembangkan konsep-konsep aljabar Babilonia. Seorang matematikawan Yunani yang bermukim di Iskandaria. Karya besar Diophantus berupa buku aritmatika, buku karangan pertama tentang system aljabar. Bagian yang terpelihara dari aritmatika Diophantus berisi pemecahan kira-kira 130 soal yang menghasilkan persamaan-persamaan tingkat pertama.

Sumber : http://anita-mayasari.blogspot.com/2009/01/sejarah-matematika-secara-geografis-1.html

Phytagoras

Pythagoras

Pythagoras (582 SM – 496 SM, bahasa Yunani: Πυθαγόρας) adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal melalui teoremanya.

Dikenal sebagai “Bapak Bilangan”, dia memberikan sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM. Kehidupan dan ajarannya tidak begitu jelas akibat banyaknya legenda dan kisah-kisah buatan mengenai dirinya.

Salah satu peninggalan Pythagoras yang terkenal adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia yang pertama kali membuktikan pengamatan ini secara matematis.[1]

Pythagoras dan murid-muridnya percaya bahwa segala sesuatu di dunia ini berhubungan dengan matematika, dan merasa bahwa segalanya dapat diprediksikan dan diukur dalam siklus beritme. Ia percaya keindahan matematika disebabkan segala fenomena alam dapat dinyatakan dalam bilangan-bilangan atau perbandingan bilangan. Terdapat legenda yang menyatakan bahwa ketika muridnya Hippasus menemukan bahwa sqrt{2}, hipotenusa dari segitiga siku-siku sama kaki dengan sisi siku-siku masing-masing 1, adalah bilangan irasional, murid-murid Pythagoras lainnya memutuskan untuk membunuhnya karena tidak dapat membantah bukti yang diajukan Hippasus.

Bukti Teorema Phytagoras

Teorema Phytagoras adalah teorema termahsyur di cabang geometri dasar. Teorema ini dinamakan menurut nama matematikawan Yunani abad ke-6, Phyagoras.  Phytagoras sering disebut sebagai penemu teorema ini meskipun sebenarnya teori ini ditemukan oleh matematikawan India, Yunani, Babilonia, dan Tionghoa sebelum Phytagoras lahir. Nama Phytagoras didedikasikan karena ialah yang pertama membuktikan teorema ini dengan pembuktian matematis.

Teorema ini berbunyi : Jumlah luas bujur sangkar pada kaki sebuah segitiga siku-siku sama dengan luas bujur sangkar di hipotenus. Ilustrasi:

Luas bujur sangkar merah dan biru sama dengan luas bujur sangkar ungu

Pythagorean.svg

Sulbasutra India menyatakan teorema tersebut sebagai berikut:

Tali yang direntangkan sepanjang panjang diagonal sebuah persegi panjang akan menghasilkan luas yang dihasilkan oleh sisi vertikal dan horizontalnya.

Terdapat ribuan bukti teorema Phytagoras. Beberapa diantaranya:

bukti visual untuk (3,4,5) dari Chou Pei Suan Ching 500-300 BC

atau:

dapat juga

sumber : wiki pedia dan mathmagics

Rumus Trigonometri | Trigonometric Formulas

Sum / Difference of Angles Formulas.

1.       cos(A + B) = cos A cos B – sin A sin B

2.       cos(A – B) = cos A cos B + sin A sin B

3.       sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B

4.       sin(A – B) = sin A cos B – cos A sin B

5.       tan(A + B) = [ tan A + tan B ] / [ 1 - tan A tan B]

6.       tan(A – B) = [ tan A - tan B ] / [ 1 + tan A tan B]
Sum / Difference of Trigonometric Functions Formulas.

7.       sin A + sin B = 2 sin [ (A + B) / 2 ] cos [ (A - B) / 2 ]

8.       sin A – sin B = 2 cos [ (A + B) / 2 ] sin [ (A - B) / 2 ]

9.       cos A + cos B = 2 cos [ (A + B) / 2 ] cos [ (A - B) / 2 ]

10.       cos A – cos B = – 2 sin [ (A + B) / 2 ] sin [ (A - B) / 2 ]
Product of Trigonometric Functions Formulas.

11.       2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)

12.       2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B)

13.       2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)

14.       2 sin A sin B = – cos (A + B) + cos (A – B)

Multiple Angles Formulas.

15.       sin 2A = 2 sin A cos A

16.       cos 2A = cos 2 A – sin 2 A = 2 cos 2 A – 1 = 1 – 2 sin 2 A

17.       sin 3A = 3 sin A – 4 sin 3 A

18.       cos 3A = 4 cos 3 A – 3 cos A
Power Reducing Formulas.

19.       sin 2 A = (1/2) [ 1 - cos 2A ]

19.       cos 2 A = (1/2) [ 1 + cos 2A ]

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.